Умножение разности двух выражений на их сумму. Конспект урока по математике: "«Произведение разности двух выражений на их сумму Правило произведения разности и суммы двух выражений
Общее правило умножение многочленов гласит, что необходимо каждый член многочлена умножить на каждый член другого многочлена, и полученные произведения сложить.
Но существует несколько случаев, когда умножение производить полностью не надо, а существуют уже готовые формулы, называемые в алгебре формулами сокращенного умножения многочленов или просто формулами сокращенного умножения.
Формулы
Произведем умножение двух многочленов (a+b) и (a-b) или по-другому умножим разность двух произведений на их сумму.
Воспользуемся общим правилом умножения многочленов:
(a-b)*(a+b) = a^2 + a*b -b*a - b^2 = a^2 - b^2;
Таким образом, получаем: (a-b)*(a+b) = a^2 - b^2;
Данное тождество называется разностью квадратов двух выражений.
С её помощью, мы сможем легко перемножать разность двух любых выражений на их сумму.
Тождество работает как слева направо, так и справа налево. То есть можно записать его следующим образом:
A^2 - b^2 = (a-b)*(a+b);
Квадрат разности двух любых выражений равен произведения разности этих двух выражений на их сумму.
Разность квадратов: примеры
Не следует путать это тождество с другим. Здесь у нас представлена «разность квадратов» (a^2 - b^2), а есть еще тождество называемое «квадратом разности» (a+b)^2.
Следует понимать, что в качестве a и b здесь могут стоять как числа, так и любые другие математические выражения.
Рассмотрим пару примеров, на применение тождества «разность квадратов».
Пример 1.
Найти произведение двух многочленов (3*x - 2*y^2) и (3*x + 2*y^2);
(3*x - 2*y^2)*(3*x + 2*y^2)
Воспользуемся полученной выше формулой, получим:
(3*x - 2*y^2)*(3*x + 2*y^2) = (3*x)^2 - (2*y^2)^2 = 9*x^2 - 4*y^4;
Ответ: 9*x^2 - 4*y^4
Пример 2.
Упростить выражение 6.5*x^2 - (2*x - 3*x^2)*(2*x + 3*x^2);
Воспользовавшись тождеством «разность квадратов», имеем:
6.5*x^2 - (2*x - 3*x^2)*(2*x + 3*x^2) =
6.5*x^2 - (4*x^2 - 9*x^4) =
6.5*x^2 - 4*x^2 + 9*x^4 =
2.5*x^2 - 9*x^4;
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Формулы сокращенного умножения Степень Дробь Сумма Разность Одночлен Теорема Числа Уравнения Выражения Произведе-ние Формула Умножение Задача Разложение на множители А В Упрощение Учитель МБОУ СОШ № 9 Загузова Н.Н.
Необходимые знания Понятие степени с натуральным показателем Свойства степеней. Правила умножения многочлена на многочлен. Умение правильно читать алгебраические выражения,
Вычислите удобным способом? 34 37 195
Математика – это наука, которая развивает память, внимание и мышление. Математику мы будем изучать, Внимание и память развивать! И будем знать её на «5»!
А В Представьте выражение в виде многочлена Произведение разности и суммы двух выражений
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2 2 Произведение разности двух выражений на их сумму 2x 3y 2x 3y 2x 3y + - - + = - 2 2 x y x y x y
Важное дополнение. Есть ли разница?
Пример 1. Выполните умножение многочленов: 1) 2) 3)
Пример 2. Упростите выражение: 1)
Вычисли, применив формулу произведения разности двух выражений и их суммы
№ 500, № 502, № 504, (№ 508).
Домашнее задание № 501(1 ст), № 503(1 ст), № 505, (№ 509).
Рефлексия 1. Я все понял, и могу объяснить другому 2. Вроде понятно, но нужно ещё разобраться 3. Что-то не очень понятно 4. Тема совсем не понятная
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока по алгебре по теме "Умножение разности двух выражений на их сумму" по учебнику "Алгебра 7 класс" авторов Ю.Н.Макарычев и др. составлен в соответствии с технологией деятельностного метод...
УМК: под ред. Теляковского С.А. Тип урока: Введение новых знаний.Цели: 1.проверить знания, умения, навыки по данной теме; ...
Данный урок предназначен для отработки навыков возведения в квадрат двучлена, а также для закрепления знаний и умений при решении уравнений и упрощении выражений и развития логического мышления....
Открытый урок в 7-м классе по теме:
«Произведение разности двух выражений на их сумму»
Башарова Ольга Геннадьевна – учитель математики
Цели: сформировать навыки умножения разности выражений на их сумму, применение этой формулы для упрощения вычислений и для преобразования алгебраических выражений.
Задачи: 1) образовательные: научить умножать разность выражений на их сумму, способствовать развитию у учащихся навыков преобразования алгебраических выражений.
2) развивающие: развитие мышления, речи, внимания, памяти, содействовать развитию умений сравнивать и обобщать.
3) воспитательные: повышать интерес к математике, воспитывать активность, самостоятельность.
Оборудование: доска, компьютер, проектор, презентация Power Point .
Ход урока:
Оргмомент
Проверка готовности учащихся к уроку
Объявление темы (слайд 1, )
Устная работа
Выполнить действия: (слайд 2)
Прочитайте выражения: (слайд 4)
(m-n) 2
a 2 +b 2
(0,1y 4 ) 2
Запишите в виде выражения: (слайд5)
Квадрат суммы 3a и b
Сумма квадратов 0,5m и n
Произведение суммы выражений 8x и 4y и разности этих выражений.
Проверьте свои записи. Кто правильно записал? (слайд 6)
Изучение нового материала
Задание 1: Выполнить умножение многочленов
(x+3)(x-3)=
(p-5)(p+5)=
Проверяем свои решения и решения ребят.
В чем сходство условий данных примеров? (умножаем сумму чисел на их разность).
В чем сходство результатов такого умножения? (двучлен состоит из разности квадратов данных чисел).
Нам в дальнейшем часто придется производить подобное умножение.
Последняя запись является формулой сокращенного умножения. Она позволяет сокращенно выполнять умножение разности любых двух выражений на их сумму.
Давайте выпишем эту формулу:
( a - b )( a + b )= a 2 - b 2
а и b - любые числа или выражения.
Произведение разности двух выражений на их сумму = разности квадратов этих выражений . (Несколько человек проговаривают).
Давайте рассмотрим случаи применения этой формулы:
для упрощения выражений: Представить в виде многочлена произведение
(3x -7y )(3x +7y )=(3x ) 2 -(7y ) 2 =9x 2 -49y 2
(3+2x )(2x -3)=
для упрощения вычислений: 63·57=(60+3)(60-3)=3600-9=3591
Закрепление изученного:
Работа у доски: №356(1,3)
Внимание на экран, следующее задание (слайд 7)
Впишите вместо знака * какой-нибудь одночлен так, чтобы равенство было верно:
(2a-*)(2a+*)=4a 2 -b 2
*-3x)(*+3x)=16y 2 -9x 2
100m 4 -4n 6 =(10m 2 -*)(*+10m 2 )
(*-b 4 )(b 4 +*)=49a 10 -b 8
Самопроверка (слайд 8)
Решение с комментированием №359 (1,3)
Представить в виде многочлена (слайд 9)
I вариант II вариант
(x-5 )(x+5 ) (4-p)(4+p)
(7x-2)(7x+2) (n-3m)(n+3m)
(4+y 2 )(y 2 -4) (k 3 +6)(6-k 3 )
(3x 2 -b 3 )(3x 2 +b 3 ) (c 2 -2d 3 )(c 2 +2d 3 )
(-m 2 +8)(m 2 +8) (6n +1)(-6n +1)
Взаимопроверка по экрану: (слайд 10)
Оценивание.
Конечно же, применение формулы не ограничивается такими заданиями. Мы будем работать и с более сложными выражениями.
Предложите свой план решения для следующих заданий:
Упростить выражение: (слайд 11)
2x 2 -(x +1)(x -1)
(b -2)(b +2)(b 2 +4)
Упростить выражение и по полученным ответам расшифровать слово: (слайд 12)
1) 5b 2 +(3-2b )(3+2b ) b 2 +9
2) (x+2)(x-2)-x(x+5) -4-5x
3) (3-y)(3+y)(9+y 2 ) 81-y 4
4) (5a-3c)(5a+3c)-(7c-a)(7c+a) 26a 2 -58c 2
5) (-1-2a 2 b)(1-2a 2 b) 4a 4 b 2 -1
6) (6n 2 +1)(-6n 2 +1) 1-36n 4
Ответ: Евклид (слайд 13)
Кто этот человек?
Где мы недавно встретили его имя?
6) Итог урока:
Что научились делать?
Как читается формула?
Как называется?
Для чего нужна?
Д/З (дифференцированное): 1 группа: 356(2,4) 357 (2,4) 359 (2,4)
2 группа: 360 (3,4) 364 (1,3) 365 (3,4)
Выставление отметок .